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第一次學工程數學就上手(2)：拉氏轉換與傅立葉(4版)

為了解決微分 方程式 的解的問題，作者林振義 這樣論述：

　　◎◎◎    SOP閃通教材   ◎◎◎ 　　老師在解題時，會把題目的標準解題流程（SOP）記在頭腦裡，依此標準解題流程（SOP）解給學生看，可是並不是每個學生看完老師教的標準解題流程（SOP）後，就能記住此標準解題流程（SOP）。 　　本書是將每個題型的標準解題流程（SOP）寫下來，學生只要將題目的數值代入標準解題流程（SOP）內，就可以把該題目解答出來。等學生學會後，此SOP就可以丟掉了。  

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A parallel smoothed aggregation multilevel Schwarz preconditioner and a hybrid-line-and-curve search globalization technique for inexact Newton methods with applications in colloidal particle interactions and semiconductor device simulations

為了解決微分 方程式 的解的問題，作者蔡尚融 這樣論述：

本文的範圍是針對於開發牛頓類型方法的穩固性與有效性兩個方面問題,關於由偏微分方程離散化而產生的大型、稀疏、非線性方程組的數值求解演算法。本論文的第一部分致力於研究多層 Schwarz 預處理的 Newton-Krylov 算法,以解決 Poisson-Boltzmann 方程,並將其應用於多粒子膠體模擬中。這項研究工作已經發表在由蔡尚融、蕭鈞懌、曾郁潔與黃楓南所著 “Parallel multilevel smoothed aggregation Schwarzpreconditioned Newton-Krylov algorithms for Poisson-Boltzmann prob

lems” 發表於學術期刊 Numerical Mathematics: Theory, Methods and Applications 第13卷(2020 年)745 至 769 頁。結合單層 Schwarz 方法並引入平滑的聚合類型的粗網格空間,作為組成每個 Newton 步驟中的解 Jacobian 系統前處理器,以加速 Krylov 子空間方法的收斂性。所提出的求解算法的重要特性是,構造多層預處理器所需的網格幾何資訊與細網格上的單層 Schwarz 方法相同。其他部份,例如粗網格的定義,所有網格轉換運算子和粗網格的問題,由美國 Sandia 國家實驗室的 Trillinos/ML 軟

件套件處理。經過算法參數調校後,我們展現所提出的平滑聚合多層 Newton-Krylov-Schwarz (NKS) 演算法在數值上優於平滑聚合多網格方法和單層版本的 NKS 演算法,並在使用數千個運算核心的情況下,具有令人滿意的平行性能。此外,我們研究了粒子之間的靜電力,對於分開離距離的影響是如何;取決於球形膠體粒子的半徑以及立方體中陽離子和陰離子的化合價比。本文的第二部分著重於牛頓類型方法的穩固性問題,該方法用於求解偏微分方程離散化所生成的大型非線性方程組。即使用某些全局策略(例如線搜索或信任區域),這些方法也無法解決由非線性不平衡所致的陷入局部最小值而停滯情況。我們提出了一種新的全域策略

,即牛頓類型方法的混合線和曲線搜索技術,以解決其潛在的收斂失敗問題。在提出的方法中,當經典線搜索失敗時,我們轉換使用曲線搜索技術。此這種想法之下,根據 Armijo 條件,解空間分解成兩個正交子空間,分別稱為好的子空間和壞的子空間;壞的子空間將包含導致違反充分減小條件的部份。接下來,將原始預測值投影到良好子空間上,然後執行非線性消去過程,希望新的更新將在全域範圍內達成充分減小條件。我們在數值實驗中展示了該方法的有效性,包括半導體器件模擬和潛勢流問題。

世界第一簡單物理數學

為了解決微分 方程式 的解的問題，作者馬場彩 這樣論述：

　　在歷史的長河中，物理學和數學總是同步發展著。 　　然而，到高中為止，「物理」和「數學」都被歸類為不同的科目，少有機會能體會到它們的「同步發展」。 　　本書的預設讀者是像作者一樣「不太擅長數學，卻想要學習物理學」的學生，透過比高中程度再稍難的數學，深入淺出地連結物理學，體會物理學與數學的息息相關，並盡可能地收錄大量的物理學例題，輔以漫畫特有的生動圖繪，幫助讀者能夠在腦海中不斷湧現用數學所描述的物理學世界。 　　也請來清華大學物理系林秀豪教授專門審訂，給予大家更專業的知識！ 　　基礎數學知識對於在大學學習的物理學是必不可少的。 　　然而，在數學課上並不經常涉及物理

學的應用，而且在大多數情況下，在物理課上也沒有多少時間來解釋數學。 　　本書針對高中和大學一、二年級所學的數學，如線性代數、微分和積分微積分、微分方程、複數等，通過漫畫和插圖，用視覺幫助學生獲得對公式和計算的清晰印象。 　　此外，還以實例的形式解釋了數學在物理學中的應用，可以從中理解數學和物理學之間的聯繫。  

一些非線性系統的精確旅行波解的讀書心得

為了解決微分 方程式 的解的問題，作者林連捷 這樣論述：

我們仔細研讀了S.A. El-Wakil及 M.A. Abdou 教授發表的論文New exact travelling wave solutions of two nonlinear physical models 還有王明亮、王躍明、張金良教授共同發表的論文The periodic wave solutions for two systems of nonlinear wave equations 然後探討文章內所使用的方法並加以應用。在這篇論文中，我們介紹了幾種不同的偏微分方程，然後再以一種改進的tanh函數方法與計算機符號計算去找這些非線性系統的精確旅行波解，包括Zakharov 方

程組、KdV 方程組...等，以及Quantum Zakharov 方程組的近似解。 然後代入一些參數，再將其解的圖形用Mathematica畫出，這些告訴我們方程式有不同類型的解，他們有其代表的物理意義，過程中我們會認識更多偏微分方程之間的共通性，在推導的過程上也會詳細的描述和介紹。該方法的主要思想是充分利用Riccati方程的家族解，去獲得了精確的解，包括新的類孤子解，三角函數解和有理解。最後在補充了一些作者沒有寫出來的解，並修正維基百科上的錯誤，讓結果更加完整。